A test feletti polinomgyűrűk maradékosztálytesteit leíró tétel bizonyítása.
\begin
Discover why over 20 million people worldwide trust Overleaf with their work.
\documentclass[a4paper,12pt]{amsart}%
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{nopageno}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem*{tetel}{T\'etel}
\renewcommand{\proofname}{Biz.}
\addtolength{\textwidth}{4cm}
\addtolength{\hoffset}{-2cm}
\addtolength{\textheight}{3cm}
\addtolength{\voffset}{-3cm}
\newcommand{\idemitirjak}{\makebox[3cm]{\dotfill}}
\DeclareMathOperator{\lnko}{lnko}
\begin{document}
\renewcommand{\baselinestretch}{2.0}
\begin{tetel}
Legyen $T$ egy tetszőleges test és $m \in T[x]$ egy tetszőleges polinom.
A $T[x]/(m)$ maradékosztály-gyűrű akkor és csak akkor test,
ha $m$ irreducibilis $T$ felett.
\end{tetel}
\begin{proof}
Először tfh. $m$ irreducibilis.
Tudjuk, hogy
$T[x]/(m)$ $\idemitirjak$ gyűrű.
Ennek a gyűrűnek legalább két eleme van;
például $\idemitirjak$ és $\idemitirjak$ két olyan polinom,
amelyek nem kongruensek modulo $m$.
Be kell látnunk, hogy $T[x]/(m)$ minden nemnulla elemének
van $\idemitirjak$.
Legyen $\overline{0} \neq \overline{f} \in T[x]/(m)$.
Ekkor $m \nmid f$, és így $\lnko(f,m) \idemitirjak$,
mert $m$ $\idemitirjak$.
Az előadás\-vázlatbeli $\idemitirjak$ szerint
az $\overline{f}$ maradékosztálynak van multiplikatív inverze.
Ezzel beláttuk, hogy $T[x]/(m)$ test.
Most tfh. $m$ nem irreducibilis és $m$ legalább elsőfokú.
Ekkor vannak olyan $f,g \in T[x]$ polinomok,
amelyekre $m=\idemitirjak$ és $\deg f, \deg g \idemitirjak$.
Ebből következik, hogy $\overline{f}\cdot\overline{g} = \idemitirjak$,
de $\overline{f}, \overline{g} \idemitirjak$.
Ezek alapján $\overline{f}$ és $\overline{g}$
$\idemitirjak$ a $T[x]/(m)$ gyűrűben,
és így nincs multiplikatív inverzük.
Tehát $T[x]/(m)$ nem test.
Hátravan még az az eset, amikor $m$ $\idemitirjak$ polinom.
Ha $m=0$, akkor két polinom akkor és csak akkor kongruens modulo $m$,
ha $\idemitirjak$. Ekkor tehát a $T[x]/(m)$ gyűrű izomorf
magával a $T[x]$ gyűrűvel, ami nyilván nem test
(például az $\idemitirjak$ polinomnak nincs multiplikatív inverze).
Végül, ha $m \neq 0$, akkor $T[x]/(m)$ azért nem test,
mert $\idemitirjak$.
\end{proof}
\end{document}