سلسلة التمارين الأولى

              
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\usepackage{amssymb,mathtools,amsthm}
\usepackage{fourier}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{multicol}
\renewcommand{\columnseprule}{1.5pt}

\usepackage{polyglossia}
\setdefaultlanguage[calendar=gregorian,numerals=maghrib]{arabic}
\newfontfamily\arabicfont[Script=Arabic,Scale=1]{Amiri}
\newfontfamily\arabicfontsf[Script=Arabic,Scale=1]{Amiri}

%======================================================
\newtheoremstyle{mystyle}
{\topsep}% espace avant
{\topsep}% espace après
{\upshape}% police du corps du théorème
{}% indentation (vide pour rien, \parindent)
{\bfseries\sffamily}% police du titre du théorème
{ :}% ponctuation après le théorème
{\newline}% après le titre du théorème (espace ou \newline)
{%
 % علق الأسطر 25 و 26 و 28
\rule[0.5\baselineskip]{0.5\textwidth}{1pt}%
\newline\fcolorbox{black}{gray!20}{%
\thmname{#1}\thmnumber{ \textup{#2}}\thmnote{ \textnormal{(#3)}}%
}%
\medskip%
}% spécifications du titre

\theoremstyle{mystyle}
\newtheorem{exo}{تمرين}
%======================================================

\title{سلسلة التمارين الأولى}
\author{نورالدين رفيق}
\date{}

\begin{document}

\begin{center}
\bfseries\sffamily\Large سلسلة التمارين الأولى \\
\large الثانية باكالوريا - شعبة العلوم الفيزيائية
\end{center}


\begin{multicols*}{2}

\begin{exo}
هذا التمرين يهدف الى ايجاد جميع الدوال المتصلة على $\mathbb{R}$ والتي تحقق لكل $x\in\mathbb{R}$ :
\[ f(2x)=\int_{0}^{x}(x-t)f(2t)dt+1 \]
\begin{enumerate}
\item
إذا حققت $f$ هذا الشرط، فبين أنها قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$. احسب $f'(x)$.
\item 
بين إذا أن $f$ حل لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية.
\item 
استخلص.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[4 نقط]
هذا التمرين يهدف الى ايجاد جميع الدوال المتصلة على $\mathbb{R}$ والتي تحقق لكل $x\in\mathbb{R}$ :
\[ f(2x)=\int_{0}^{x}(x-t)f(2t)dt+1 \]
\begin{enumerate}
\item
إذا حققت $f$ هذا الشرط، فبين أنها قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$. احسب $f'(x)$.
\item 
بين إذا أن $f$ حل لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية.
\item 
استخلص.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[4 نقط]
هذا التمرين يهدف الى ايجاد جميع الدوال المتصلة على $\mathbb{R}$ والتي تحقق لكل $x\in\mathbb{R}$ :
\[ f(2x)=\int_{0}^{x}(x-t)f(2t)dt+1 \]
\begin{enumerate}
\item
إذا حققت $f$ هذا الشرط، فبين أنها قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$. احسب $f'(x)$.
\item 
بين إذا أن $f$ حل لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية.
\item 
استخلص.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[العلوم الرياضية]
لتكن $f$ دالة عددية متصلة على مجال $[a,b]$ و $u$ و $v$ دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال $I$ حيث $u(I)\subset[a,b] $ و 
$v(I)\subset[a,b]$.

نعتبر الدالة العددية $G$ للمتغير الحقيقي $x$ المعرفة على $[a,b]$ بما يلي : 
\[ G(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt \]

نضع لكل $x$ من $[a,b]$ : 
$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 

\begin{enumerate}
\item 
اكتب تعبير الدالة $G$ بدلالة الدوال  $F$ و $u$ و $v$.
\item 
بين أن الدالة $G$ قابلة للاشتقاق على $I$.
\item
احسب $G'(x)$ لكل $x$ من $I$.
\item
تطبيق : احسب الدالة المشتقة للدالة $G$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بما يلي :
\[ G(x)=\int_{x}^{x^{2}}e^{-t^{2}}dt\]
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[مشتقة دالة معرفة بتكامل]
لتكن $f$ دالة عددية متصلة على مجال $[a,b]$ و $u$ و $v$ دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال $I$ حيث $u(I)\subset[a,b] $ و 
$v(I)\subset[a,b]$.

نعتبر الدالة العددية $G$ للمتغير الحقيقي $x$ المعرفة على $[a,b]$ بما يلي : 
\[ G(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt \]

نضع لكل $x$ من $[a,b]$ : 
$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 

\begin{enumerate}
\item 
اكتب تعبير الدالة $G$ بدلالة الدوال  $F$ و $u$ و $v$.
\item 
بين أن الدالة $G$ قابلة للاشتقاق على $I$.
\item
احسب $G'(x)$ لكل $x$ من $I$.
\item
تطبيق : احسب الدالة المشتقة للدالة $G$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بما يلي :
\[ G(x)=\int_{x}^{x^{2}}e^{-t^{2}}dt\]
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{multicols*}
\end{document}