\begin
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\title{Chapitre 2: Th\'eorie cin\'etique des gaz parfaits.}
\author{R\'emy Collie}
\date{\today}
\usepackage[T1]{fontenc}
\begin{document}
\maketitle
\section{Mod\`ele d'un gaz parfait.}
Un gaz est dit parfait s'il satisfait les hypoth\`eses suivantes:
\begin{itemize}
\item Les mol\'ecules sont assimil\'ees \`a des points mat\'eriels de taille n\'egligeable;
\item Les seules interactions entre les mol\'ecules sont les chocs \'elastiques, c'est-\`a-dire les mol\'ecules ne s'attirent pas et ne se repoussent pas;
\item Les mol\'ecules d'un gaz se d\'eplacent \`a grande vitesse (de l'ordre de 500 $m \cdot s^{-1}$). Elles subissent des collisions entre elles (108 collisions par seconde). Suite \`a ces collisions, les trajectoires des mol\'ecules deviennent tr\`es d\'esordonn\'ees: le gaz occupe tout le volume offert, et la vitesse moyenne des mol\'ecules se d\'eplaçant suivant une vitesse donn\'ee ne d\'epend pas de la direction.
\end{itemize}
\section{Pression dans un gaz parfait.}
\`A l'origine de la pression sont les chocs des mol\'ecules avec les parois du contenant. Trouvons une expression liant la pression P \`a la concentration n, la masse m et la vitesse v d'une mol\'ecule.
\subsection{Encha\^inement des calculs.}
On applique la seconde loi de Newton au sch\'ema pr\'ec\'edent:
\begin{equation}
\overrightarrow{F_{gaz}} = m \cdot \overrightarrow{a} = m \cdot \frac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t} = \frac{\Delta(m \cdot \overrightarrow{v})}{\Delta t} = \frac{\Delta \overrightarrow{p}}{\Delta t}
\end{equation}
avec $\Delta \overrightarrow{p}$ la variation de quantit\'e de mouvement de toutes les mol\'ecules rentrant en choc avec la paroi.
Avec $N_{coll}$ le nombre de collisions durant $\Delta t$ et $\Delta P_1$ la variation de quantit\'e de mouvement d'une mol\'ecule:
$$P \cdot \Delta S \cdot \Delta t = N_{coll} \cdot \Delta P_1$$
\subsection{Hypoth\`eses.}
\begin{itemize}
\item Toutes les mol\'ecules se d\'eplacent avec la m\^eme vitesse;
\item Toutes les mol\'ecules se d\'eplacent suivant les trois directions orthogonales $\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z}$ dans les sens positif et n\'egatif, c'est-\`a-dire qu'un sixi\`eme des mol\'ecules suit l'axe $\overrightarrow{x}$, un autre sixi\`eme l'axe $-\overrightarrow{x}$, et c\ae tera.
\end{itemize}
\subsection{D\'efinition de $N_{coll}.$}
Parmi six mol\'ecules se trouvant dans un cylindre, une seule entrera en collision sur la paroi:
$$N_{coll} = \frac{1}{6} \cdot N_{cylindre}$$
d'o\`u par d\'efinition: $n = \frac{N_{cylindre}}{V_{cylindre}}$, et donc:
$N_{cylindre} = n \cdot V \cdot \Delta t \cdot \Delta S$
$\Leftrightarrow P\cdot \Delta S \cdot \Delta t = \frac{1}{6} \cdot n \cdot v \cdot \Delta t\cdot \Delta S\cdot 2 m v$
$\Leftrightarrow P = \frac{1}{3} \cdot n \cdot m \cdot u^2$
avec $u$ la vitesse quadratique moyenne d\'efinie par:
$$u = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} {v_i}^2}{N}}$$
avec:
\begin{itemize}
\item $v_i$ vitesse de la i\`eme mol\'ecule
\item N le nombre de mol\'ecules
\end{itemize}
\section{Energie interne d'un gaz parfait monoatomique.}
\subsection{Relation entre U et P.}
Faisons appara\^itre l'\'energie interne dans l'expression:
\begin{flalign*}
P &= \frac{1}{3} \cdot n \cdot m \cdot u^2 & \\
&= \frac{2}{3} \cdot \frac{N}{V} \cdot (\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2) \\
&= \frac{2}{3\cdot V} \cdot (\frac{1}{2} \cdot m \cdot N\cdot v^2)
\end{flalign*}
or ici $\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = E$ l'\'energie cin\'etique moyenne d'une mol\'ecule.
donc $\frac{1}{2} \cdot m \cdot N\cdot v^2 = N \cdot E = E_{cin}$ l'\'energie cin\'etique de toutes les mol\'ecules.
d'o\`u une forme alternative de l'\'equation d'\'etat des gaz parfaits:
(2) dans (1) $\Rightarrow P = \frac{2U}{3V} \Rightarrow P \cdot V = \frac{2}{3} \cdot U$
\subsection{Relation entre U et T.}
Comparons les deux formes diff\'erentes de la loi des gaz parfaits:
\begin{align}
P \cdot V &= \frac{2}{3} \cdot U \label{A}\\
&= \nu \cdot R \cdot T \label{B}
\end{align}
avec $\nu = \frac{N}{N_A}$.
Par l'\'equation ~\eqref{B}:
\begin{flalign*}
P \cdot V &= \frac{N}{N_A} \cdot R \cdot T & \\
&= N \cdot k \cdot T
\end{flalign*}
avec $k = \frac{R}{N_A} = 1.33 \cdot 10^{-22} J \cdot K^{-1}$ la constante de Boltzmann.
k ne d\'epend ni de T, ni de P, ni de la nature du gaz.
...
La temp\'erature absolue $T$ d'un gaz parfait est une mesure de l'\'energie cin\'etique moyenne de ses mol\'ecules.
La temp\'erature est d'autant plus \'elev\'ee que leur agitation thermique $E_{cin}$ est grande.
Dans le cas g\'en\'eral, la temp\'erature d'une mati\`ere traduit le degr\'e d'agitation des particules microscopiques qui la constituent.
Remarque 1: l'\'equation (7) n'est valable que pour un gaz monoatomique.
Pour un gaz polyatomique,
$E_{polyatomique} > \frac{3}{2} \cdot k \cdot T$,
mais pour autant $E_{polyatomique}$ est toujours proportionnelle \`a $k \cdot T$.
Remarque 2: On a la forme alternative de la loi des gaz parfaits suivante:
\begin{flalign*}
P \cdot V &= N \cdot k \cdot T & \\
&= \frac{N}{V} \cdot k \cdot T \\
&= n \cdot k \cdot T
\end{flalign*}
\subsection{Application : refroidissement d'un gaz par laser.}
...
\section{Gaz dans le champ pesanteur}
Hypoth\`eses:
\begin{itemize}
\item L'air est un gaz parfait
\item La temp\'erature est une constante du temps
\item L'acc\'el\'eration de pesanteur g est une constante du temps.
\end{itemize}
Raisonnement :
\subsection{Bilan des forces exerc\'ees sur la couche d'air.}
$F_{pressante,airBas} = F_{pressante,airHaut} + F_{poids}$
$P(z) \cdot S = P(z + dz)\cdot S + dM\cdot g$
\begin{equation}
(P(z) - P(z + dz))\cdot S = dM\cdot g \label{1}
\end{equation}
avec la diff\'erentielle de la pression par d\'efinition:
\begin{equation}
\mathrm dP = P(z + dz) - P(z) \label{2}
\end{equation}
donc:
\begin{equation}
-\mathrm dP\cdot S = dM\cdot g \label{3}
\end{equation}
\subsection{Masse de la couche d'air.}
$dM = m\cdot N$ \, avec:
\begin{itemize}
\item $m$ la masse d'une mol\'ecule;
\item $\mathrm dn$ le nombre de mol\'ecules dans la couche d'air.
\end{itemize}
Par d\'efinition, $m = \frac{\mathrm dn}{dV}$, donc:
\begin{equation}
\mathrm dn = m\cdot dV \label{4}
\end{equation}
avec dV le volume de la couche.
Ainsi:
\begin{equation}
\mathrm dn = n\cdot S\cdot \mathrm dy \label{5}
\end{equation}
\begin{equation}
~\eqref{5} \rightarrow ~\eqref{4} \Rightarrow
dM = m\cdot n\cdot S\cdot \mathrm dy \label{6}
\end{equation}
\subsection{Concentration des mol\'ecules dans la couche.}
\begin{equation}
~\eqref{6} \rightarrow ~\eqref{3} \Rightarrow
-\mathrm dP\cdot S = m\cdot n\cdot S\cdot \mathrm dy \Rightarrow
\mathrm dP = -m\cdot n\cdot g\cdot \mathrm dy \label{7}
\end{equation}
or, on a:
\begin{equation}
P = n\cdot k\cdot T \Rightarrow \mathrm dP = k\cdot T\cdot \mathrm dn \label{8}
\end{equation}
$~\eqref{6} \rightarrow ~\eqref{3} \Rightarrow$
\begin{align}
\mathrm dn\cdot k\cdot T &= -m\cdot n\cdot g\cdot \mathrm dy \notag \\
\frac{\mathrm dn}{n} &= -\frac{m\cdot g}{k\cdot T} \cdot \mathrm dy \notag \\
\int{\frac{\mathrm dn}{n}} &= -\frac{m\cdot g}{k\cdot T} \cdot \int{\mathrm dy} \notag \\
\ln{n} &= -\frac{m\cdot g}{k\cdot T} \cdot y + \ln{\lambda} \,\,\,\,\,
(\lambda \in \mathbf{R}) \notag \\
\ln{\frac{n}{\lambda}} &= -\frac{m\cdot g}{k\cdot T} \cdot y \notag \\
n &= \lambda \cdot \exp{\frac{-m\cdot g\cdot}{k\cdot T} \cdot y}
\end{align}
Si on conna\^it la concentration de l'air au niveau de la mer:
\begin{equation}
n(z=0) = n_0 \label{10}
\end{equation}
\begin{equation}
~\eqref{10} \rightarrow (11) \Rightarrow
n_0 = \lambda \cdot \exp{0} = \lambda \label{11}
\end{equation}
\begin{equation}
~\eqref{11} \rightarrow (11) \Rightarrow
n(z) = n_0 \cdot \exp{\frac{-m\cdot g\cdot z}{k\cdot T}} \label{12}
\end{equation}
L'\'equation pr\'ec\'edente nous donne la r\'epartition de la concentration de mol\'ecules d'air en fonction de l'altitude.
\subsection{Pression atmosph\'erique \`a l'altitude z.}
\begin{align}
P(z) &= n(z)\cdot k\cdot T \notag \\
&= n_0\cdot k\cdot T\cdot \exp{\frac{-m\cdot g\cdot z}{k\cdot T}} \notag \\
&= P_0\cdot \exp{\frac{-m\cdot g\cdot z}{k\cdot T}}
\end{align}
La formule en (16) est appel\'ee formule barom\'etrique.
Application : cf Caquineau.
\section{Loi de distribution de Boltzmann.}
Avec le dernier paragraphe, le nombre de mol\'ecules d'air se trouvant \`a l'altitude z ayant l'\'energie potentielle
$\epsilon = m\cdot g\cdot z$ est \`a une constante pr\`es :
$$ n = \exp(-\frac{m\cdot g\cdot z}{k\cdot T}) = \exp(-\frac{\epsilon}{k\cdot T})$$
\subsection{Spectre discret.}
Suite \'a l'agitation thermique, l'\'energie d'une particule microscopique prend l'une des valeurs $\epsilon_i$ du spectre
$(\epsilon_1, \epsilon_2, ..., \epsilon_L)$
Il est impossible de savoir exactement l'\'energie d'une mol\'ecule \`a un instant donn\'e, mais on peut deviner sa valeur
$\epsilon_i$ avec une certaine probabilit\'e.
La probabilit\'e que l'\'energie d'une particule donn\'ee prenne une valeur $\epsilon_i$ du spectre discontinu
$(\epsilon_1, \epsilon_2, ..., \epsilon_L)$ est proportionnelle au facteur de Boltzmann
$\exp{-\frac{\epsilon_i}{k\cdot T}}$
Elle est donn\'ee par la loi de distribution de Boltzmann:
\begin{equation}
\Pi(\epsilon_i) = \frac{N_i}{N} = \lambda \cdot \exp{-\frac{\epsilon_i}{k\cdot T}} \label{a}
\end{equation}
avec:
\begin{itemize}
\item $N_i$ le nombre de mol\'ecules ayant l'\'energie $\epsilon_i$ \, ;
\item $N = \sum\limits_{i=1}^L N_i$ le nombre total de mol\'ecules.
\end{itemize}
Cette m\^eme probabilit\'e est \'egale au nombre relatif (ou pourcentage) des mol\'ecules ayant l'\'energie $\epsilon_i$ \,.
\begin{align}
(18) \Leftrightarrow \sum\limits_{i=1}^{L} \frac{N_i}{N} =
\sum\limits_{i=1}^{L} (\lambda \cdot \exp{-\frac{\epsilon_i}{k\cdot T}}) \notag \\
\frac{N}{N} = 1 = \lambda \cdot \sum\limits_{i=1}^L \exp{-\frac{\epsilon_i}{k\cdot T}} \notag \\
\lambda = \frac{1}{\sum\limits_{i=1}^L \exp{-\frac{\epsilon_i}{k\cdot T}}} \label{b}
\end{align}
\subsection{Spectre continu.}
De nombreux syst\`emes comme les mol\'ecules d'un gaz parfait poss\`edent un spectre continu de l'\'energie.
L'\'energie d'une particule est associ\'ee \`a sa position $x$ et \`a sa vitesse $v_x$\,.
Suite \`a l'agitation thermique, la position $x$ et la vitesse $v_x$ sont d\'etermin\'ees qu'avec une certaine probabilit\'e.
La probabilit\'e que la position d'une particule donn\'ee soit comprise entre $x$ et $x + \mathrm dx$ et que sa vitesse soit comprise entre $v_x$ et $v_x + \mathrm dv_x$ est proportionnelle au facteur de Boltzmann et \`a l'\'el\'ement diff\'erentiel $\mathrm dx \cdot dv_x$
\begin{align}
\mathrm d\Pi (x, v_x) &= \frac{dN(x, v_x)}{N} \notag \\
&= \lambda \cdot \exp{-\frac{\epsilon(x, v_x)}{k\cdot T}} \mathrm dx dv_x \label{c}
\end{align}
Cette \'equation est appel\'ee distribution de Boltzmann continue dans le cas d'une dimension.
Cette m\^eme probabilit\'e est \'egale au nombre relatif (pourcentage) de particules dont la position $x_i \in [x, x + \mathrm dx]$ et la vitesse $v_i \in [v_x, v_x + \mathrm dv_x]$\,.
Avec $\mathrm dN(x, v_x)$ le nombre de particules telles que:
\[\left \{
\begin{array}{ll}
x \in [x, x+ \mathrm dx] \\
v_x \in [v_x, v_x + \mathrm dv_x] \\
\end{array}
\right.\]
on a ais\'ement le nombre total de particules $N = \int \mathrm dN$\,. En double-int\'egrant l'\'equation (18), on obtient:
\begin{align}
\frac{\int \mathrm dN}{N} = \int_{x_{min}}^{x_{max}} \int_{v_{min}}^{v_{max}} \lambda \cdot
e^{-\frac{\epsilon(x, v_x)}{k\cdot T}} \, \mathrm dx \, \mathrm dv_x \notag \\
\frac{N}{N} = 1 = \lambda \cdot \int_{x_{min}}^{x_{max}} \int_{v_{min}}^{v_{max}}
e^{-\frac{\epsilon(x, v_x)}{k\cdot T}} \, \mathrm dx \, \mathrm dv_x \notag \\
\lambda = \frac{1}{\int_{x_{min}}^{x_{max}} \int_{x_{min}}^{x_{max}}
e^{-\frac{\epsilon(x, v_x)}{k\cdot T}} \, \mathrm dx \, \mathrm dv_x}
\end{align}
\subsection{Application : distribution Maxwellienne des vitesses.}
Avec la distribution de Boltzmann (18), (19), on peut d\'emontrer que le pourcentage de mol\'ecules d'un gaz parfait dont la norme de vitesse $v = \left\|\overrightarrow v\right\|$ est comprise dans l'intervalle $[v, v + \mathrm dv]$ \,.
La loi de densit\'e de probabilit\'e se pr\'esente alors sous la forme suivante:
\begin{equation}
\frac{\mathrm dN(v)}{N} = \left(\frac{m}{2\pi k\cdot T}\right)^{\left(\frac{3}{2}\right)} \cdot 4\pi \cdot v^2 \cdot e^{\frac{m\cdot v^2}{2k\cdot T}} \, \mathrm dv
\end{equation}
\section{Th\'eor\`eme d'\'equiposition de l'\'energie / de Boltzmann.}
Le degr\'e de libert\'e d'une particule est d\'efinie comme le nombre de variables ind\'ependantes qui d\'etermine compl\`etement l'\'etat de la mol\'ecule.
\underline{Exemple:} atome d'un gaz parfait.
L'\'energie cin\'etique de l'atome est d\'efinie par $v_x, v_y, v_z$, ce qui lui garantit 3 degr\'es de libert\'e.
La vitesse quadratique moyenne est alors:
$$u^2 = <v_x^2> + <v_y^2> + <v_z^2>$$
avec <...> la vitesse moyenne, c'est-\`a-dire que $<v_x^2> = <v_y^2> = <v_z^2> = \frac{1}{3} \cdot u^2$.
L'\'energie cin\'etique moyenne d'un atome est alors:
\begin{flalign*}
\epsilon &= \frac{3}{2} \cdot k\cdot T & \\
&= \frac{1}{2} \cdot m\cdot v^2 \\
&= \frac{1}{2} m\, <v_x^2> + \frac{1}{2} m\, <v_y^2> + \frac{1}{2} m\, <v_z^2>
\end{flalign*}
L'\'energie cin\'etique d'un atome d'un gaz parfait est distribu\'ee uniform\'ement entre les trois degr\'es de libert\'e et l'\'energie moyenne attribu\'ee \`a un degr\'e de libert\'e est \'egale \`a: $\frac{1}{2} k \cdot T$.
\underline{Th\'eor\`eme de Boltzmann:}
Pour tout syst\`eme microscopique \`a la temp\'erature T, l'\'energie moyenne attribu\'ee \`a un degr\'e de libert\'e est \'egale \`a $\frac{1}{2} k \cdot T$.
\section{Capacit\'e thermique des gaz parfaits.}
\subsection{D\'efinition.}
La premier principe de thermodynamique pour des gaz \`a volume constant est donn\'e parf l'\'equation suivante:
\begin{flalign*}{ll}
\mathrm dU &= \delta Q_v & \\
&= \nu \cdot c_v \cdot \mathrm dT \\
\Rightarrow c_v &= \frac{1}{\nu} \cdot \frac{\delta Q_v}{\mathrm dT} \\
&= \frac{1}{\nu} \, \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_V
\end{flalign*}
La capacit\'e thermique molaire \`a volume constant d'un gaz est d\'efinie comme la chaleur qu'on fournit \`a une mole de gaz pour augmenter sa temp\'erature d'un Kelvin en gardant le volume constant.
\underline{Rappel:} l'\'energie \`a un un degr\'e de libert\'e est \'egale \`a $\frac{1}{2} \, k \cdot T \,$.
\subsection{Gaz monoatomique (He, Ar, ...).}
\subsubsection{Degr\'es de libert\'e.}
On a $v_x, v_y, v_z$ trois variables de translation, qui d\'efinissent trois degr\'es de libert\'e.
\subsubsection{\'Energie cin\'etique $\epsilon$.}
\begin{flalign*}
\epsilon &= 3 \cdot \frac{1}{2} \, k \, T & \\
&= \frac{3}{2} \, k \, T
\end{flalign*}
\subsubsection{\'Energie interne $U$.}
\begin{flalign*}
U &= N \cdot \epsilon & \\
&= N \cdot \frac{3}{2} \, k \, T \\
&= \nu \, N_A \frac{3}{2} \, k \, T \\
&= \frac{3}{2} \, \nu \, R \, T
\end{flalign*}
\subsubsection{Capacit\'e thermique $c_v$.}
\begin{flalign*}
c_v &= \frac{1}{\nu} \cdot \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V & \\
&= \frac{1}{\nu} \cdot \frac{\partial}{\partial T}\, \left(\frac{3}{2} \, \nu R\, T\right) \\
&=\frac{1}{\nu} \, \frac{3}{2} \, \nu \, R \, \left(\frac{\partial T}{\partial T}\right) \\
&= \frac{3}{2} \, R
\end{flalign*}
\subsection{Gaz diatomique (air, $O_2$\, ,$N_2$ \,).}
Mod\`ele d'une halt\`ere:
\subsubsection{Degr\'es de libert\'e.}
On a $v_x, v_y, v_z$ trois variables de translation, et $\omega_x, \omega_z$ deux variables de rotation, qui d\'efinissent alors cinq degr\'es de libert\'e.
\subsubsection{\'Energie cin\'etique $\epsilon$.}
\begin{flalign*}
\epsilon &= 5 \cdot \frac{1}{2} \, k \, T & \\
&= \frac{5}{2} \, k \, T
\end{flalign*}
\subsubsection{\'Energie interne $U$.}
\begin{flalign*}
U &= N \cdot \epsilon & \\
&= N \cdot \frac{5}{2} \, k \, T \\
&= \frac{5}{2} \, \nu \, R \, T
\end{flalign*}
\subsubsection{Capacit\'e thermique $c_v$.}
\begin{flalign*}
c_v &= \frac{1}{\nu} \cdot \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V & \\
&= \frac{1}{\nu} \cdot \frac{\partial}{\partial T}\, \left(\frac{5}{2} \, \nu R\, T\right) \\
&= \frac{5}{2} \, R
\end{flalign*}
\subsection{Gaz tri- et polyatomique (vapeur de $H_2O$, $CH_4$).}
\subsubsection{Degr\'es de libert\'e.}
On a $v_x, v_y, v_z$ trois variables de translation, et $\omega_x, \omega_y, \omega_z$ trois variables de rotation, qui d\'efinissent alors six degr\'es de libert\'e.
\subsubsection{\'Energie cin\'etique $\epsilon$.}
\begin{flalign*}
\epsilon &= 6 \cdot \frac{1}{2} \, k \, T & \\
&= 3 \, k \, T
\end{flalign*}
\subsubsection{\'Energie interne $U$.}
\begin{flalign*}
U &= N \cdot \epsilon & \\
&= N \cdot 3 \, k \, T \\
&= 3 \, \nu \, R \, T
\end{flalign*}
\subsubsection{Capacit\'e thermique $c_v$.}
\begin{flalign*}
c_v &= \frac{1}{\nu} \cdot \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V & \\
&= \frac{1}{\nu} \cdot \frac{\partial}{\partial T}\, \left(3 \, \nu R\, T\right) \\
&= 3 \, R
\end{flalign*}
\subsection{Conclusion.}
La capacit\'e thermique molaire \`a volume constant d'un gaz parfait est d\'efinie par:
\begin{equation}
c_v = \frac{i}{2} \, R
\end{equation}
avec $i$ le nombre de degr\'es de libert\'e \'egal \`a:
\begin{itemize}
\item 3 si le gaz est monoatomique; \\
\item 5 si le gaz est diatomique; \\
\item 6 si le gaz est tri- ou polyatomique; \\
\end{itemize}
\end{document}