Teorema de la Superposición y Reciprocidad

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\title{Teorema de la Superposición y Reciprocidad}

\author{Fabricio Puente Mansilla}

\date{\today}

\begin{document}
\maketitle

%\begin{abstract}
%Your abstract.
%\end{abstract}

\section{Objetivos}
Comprobar experimentalmente las propiedades de las redes lineales como la superposición y la reciprocidad.

\section{Circuito a Utilizar}

\begin{figure}[htbp] 
\centering
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{Sin_t_tulo.jpg}
\caption{\label{fig:cirkto1}Circuito  de prueba.}
\end{figure}

\section{Cálculos eléctricos}
\begin{enumerate}
\item Cuando tenemos ambas fuentes conectadas podemos calcular las corrientes y las tensiones mediante las leyes de Kirchhoff.

\begin{figure}[htbp] 
\centering
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{fig2.jpg}
\caption{\label{fig:cirkto2}Circuito  de prueb.}
\end{figure}
Como podemos apreciar en la Figura \ref{fig:cirkto2}, se aplica La ley de Voltajes de Kirchhoff.
Para la primera malla tenemos:
$$\sum V_{1} = 0$$

$$-15 + 18 \cdot I_{1} + 35\cdot (I_{1} - I_{2})  = 0$$

\begin{equation}
53 \cdot I_{1} - 35\cdot I_{2} = 15
 \label{eqn:eq1}
\end{equation}

Para la primera malla tenemos:
$$\sum V_{2} = 0$$

$$8 + 18 \cdot I_{2} + 35\cdot (I_{2} - I_{1})  = 0$$

\begin{equation}
 -35 \cdot I_{1} + 53\cdot I_{2} = -8
\label{eqn:eq2}
\end{equation}

De las Ecuaciones (\ref{eqn:eq1}) y (\ref{eqn:eq2}) se resuelve el sistema de ecuaciones, se obtine:
\begin{equation}
 I_{1} = \frac{515}{1584} = 0.3251 A
\label{eqn:cu1}
\end{equation}

y,

\begin{equation}
 I_{2} = \frac{101}{1584} = 0.0638 A
\label{eqn:cu2}
\end{equation}

Además de los valores de los voltajes en cada resistencia $V_{R2} = 5.8518 V$, $ V_{R3} = 1.1484 V$ y $V_{R1} = 9.1455 V$


\item Solo conectamos la fuente de 8V y la de 15V la ponemos en corto como se puede apreciar en la Figura \ref{fig:cirkto3}. Calculamos  las corrientes que pasan por cada una de las resistencias respectivamente:
$$I3 = 0.2677 A$$,

$$I2 = 0.1768 A$$ y 

$$I1 = 0.0909 A $$

Así como los voltajes,

$$V_{R3} = 4.8180 V$$,

$$V_{R2} = 3.1820 V$$ y

$$V_{R1} = 3.1820 V$$


\begin{figure}[htbp] 
\centering
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{fig3.jpg}
\caption{\label{fig:cirkto3}Circuito usando solo la fuente de 8v.}
\end{figure}

\item Solo conectamos la fuente de 15V y la de 8V la ponemos en corto como se puede apreciar en la Figura \ref{fig:cirkto4}. Calculamos  las corrientes que pasan por cada una de las resistencias respectivamente:

$$I3 = 0.3314 A$$,

$$I2 = 0.5019 A$$ y 

$$I1 = 0.1704 A $$

Así como los voltajes,

$$V_{R3} = 9.0340 V$$,

$$V_{R2} = 5.9660 V$$ y

$$V_{R1} = 5.9660 V$$
\begin{figure}[htbp] 
\centering
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{fig4.jpg}
\caption{\label{fig:cirkto4}Circuito usando solo la fuente de 15v.}
\end{figure}
\end{enumerate}

\section{Equipos a utilizar}
\begin{itemize}
\item 2 Fuentes DC.
\item 1 Multimetro.
\item 2 Voltimetros.
\item 1 Panel resistivo E-2.
\item Cables de conexión.
\end{itemize}

\section{Fundamento Teórico}
El teorema de superposición sólo se puede utilizar en el caso de circuitos eléctricos lineales, es decir circuitos formados únicamente por componentes lineales (en los cuales la amplitud de la corriente que los atraviesa es proporcional a la amplitud de voltaje a sus extremidades). El teorema de superposición ayuda a encontrar:
\begin{itemize}
\item Valores de voltaje, en una posición de un circuito, que tiene más de una fuente de voltaje.
\item Valores de corriente, en un circuito con más de una fuente de voltaje.
\end{itemize}
Este teorema establece que el efecto que dos o más fuentes tienen sobre una impedancia es igual, a la suma de cada uno de los efectos de cada fuente tomados por separado, sustituyendo todas las fuentes de voltaje restantes por un corto circuito, y todas las fuentes de corriente restantes por un circuito abierto.
Por ejemplo, si el voltaje total de un circuito dependiese de dos fuentes de tension:

$$ V_{T} = f(V_{1},V_{2}) = f(0,V_{2}) + f(V_{1},0) $$

\subsection{Interes del Teorema}
En principio, el teorema de superposición puede utilizarse para calcular circuitos haciendo cálculos parciales, como hemos hecho en el ejemplo precedente. Pero eso no presenta ningún interés práctico porque la aplicación del teorema alarga los cálculos en lugar de simplificarlos. Hay que hacer un cálculo separado por cada fuente de voltaje y de corriente y el hecho de eliminar los otros generadores no simplifica mucho o nada el circuito total.

Otros métodos de cálculo son mucho más útiles.

El verdadero interés del teorema de superposición es teórico. El teorema justifica métodos de trabajo con circuitos que simplifican verdaderamente los cálculos. Por ejemplo, justifica que se hagan separadamente los cálculos de corriente continua y los cálculos de señales (corriente alterna) en circuitos con Componentes activos (transistores, amplificadores operacionales, etc.).

Otro método justificado por el teorema de superposición es el de la descomposición de una señal no sinusoidal en suma de señales sinusoidales. Se reemplaza un generador de voltaje o de corriente por un conjunto (tal vez infinito) de fuentes de voltaje en serie o de fuentes de corriente en paralelo. Cada una de las fuentes corresponde a una de las frecuencias de la descomposición. Por supuesto no se hará un cálculo separado para cada una de las frecuencias, sino un cálculo único con la frecuencia en forma literal. El resultado final será la suma de los resultados obtenidos remplazando, en el cálculo único, la frecuencia por cada una de las frecuencias de la serie de Fourier. El enorme interés de esto es el de poder utilizar el cálculo con el formalismo de impedancias cuando las señales no son sinusoidales.

\subsection{Ejemplo}
Vamos analizar un ejercicio simple donde podamos aplicar el Teorema de Superposición.

\begin{figure}[htbp] 
\centering
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Supersposition.png}
\caption{\label{fig:sup}(a)Circuito original (b) Circuito con solo la fuente de voltaje (c) Circuito con solo la fuente de corriente.}
\end{figure}
En el circuito de arriba de la Figura \ref{fig:sup}, calculemos el voltaje en el punto A utilizando el teorema de superposición.Como hay dos generadores, hay que hacer dos cálculos intermedios.

En el primer cálculo, conservamos la fuente de voltaje de la izquierda y remplazamos la fuente de corriente por un circuito abierto. El voltaje parcial obtenido es:
$$V_{1} = V_{0} \frac{Z_{2}}{Z_{1} + Z_{2}}  $$

En el segundo cálculo, guardamos la fuente de corriente de derecha y remplazamos la fuente de voltaje por un cortocircuito. El voltaje obtenido es:

$$V_{2} = I_{0} (Z_{1}//Z_{2}) = I_{0} \frac{Z_{1} \cdot Z_{2}}{Z_{1} + Z_{2}} $$

El voltaje que buscamos es la suma de los dos voltajes parciales:

$$V_{A} = V_{1} + V_{2} = V_{0} \frac{Z_{2}}{Z_{1} + Z_{2}} + I_{0} \frac{Z_{1} \cdot Z_{2}}{Z_{1} + Z_{2}}$$
$$ =\frac{V_{0} Z_{2} + I_{0} Z_{1} Z_{2}}{Z_{1} + Z_{2}} $$

\section{Bibliografía}

\begin{enumerate}
\item ALEXANDER, C.K. e SADIKU, M.N.O. Fundamentos de circuitos elétricos, Bookman, 2003.
\item KIENITZ, K.H. Análise de circuitos: um enfoque de sistemas, Manole, 2002.
\end{enumerate}

%\label{sec:examples}

%\subsection{How to Leave Comments}

%Comments can be added to the margins of the document using the \todo{Here's a %comment in the margin!} todo command, as shown in the example on the right. %You can also add inline comments:

%\todo[inline, color=green!40]{This is an inline comment.}

%\subsection{How to Include Figures}

%First you have to upload the image file (JPEG, PNG or PDF) from your computer to writeLaTeX using the upload link the project menu. Then use the includegraphics command to include it in your document. Use the figure environment and the caption command to add a number and a caption to your figure. See the code for Figure \ref{fig:frog} in this section for an example.

%\begin{figure}
%\centering
%\includegraphics[width=0.3\textwidth]{frog.jpg}
%\caption{\label{fig:frog}This frog was uploaded to writeLaTeX via the project %menu.}
%\end{figure}

%\subsection{How to Make Tables}

%Use the table and tabular commands for basic tables --- see Table~\ref{tab:widgets}, for example.

%\begin{table}
%\centering
%\begin{tabular}{l|r}
%Item & Quantity \\\hline
%Widgets & 42 \\
%Gadgets & 13
%\end{tabular}
%\caption{\label{tab:widgets}An example table.}
%\end{table}

%\subsection{How to Write Mathematics}

%\LaTeX{} is great at typesetting mathematics. Let $X_1, X_2, \ldots, X_n$ be a sequence of independent and identically distributed random variables with $\text{E}[X_i] = \mu$ and $\text{Var}[X_i] = \sigma^2 < \infty$, and let
%$$S_n = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}
      %= \frac{1}{n}\sum_{i}^{n} X_i$$
%denote their mean. Then as $n$ approaches infinity, the random variables %$\sqrt{n}(S_n - \mu)$ converge in distribution to a normal $\mathcal{N}(0, \sigma^2)$.

%\subsection{How to Make Sections and Subsections}

%Use section and subsection commands to organize your document. \LaTeX{} handles all the formatting and numbering automatically. Use ref and label commands for cross-references.

%\subsection{How to Make Lists}

%You can make lists with automatic numbering \dots

%\begin{enumerate}
%\item Like this,
%\item and like this.
%\end{enumerate}
%\dots or bullet points \dots
%\begin{itemize}
%\item Like this,
%\item and like this.
%\end{itemize}
%\dots or with words and descriptions \dots
%\begin{description}
%\item[Word] Definition
%\item[Concept] Explanation
%\item[Idea] Text
%\end{description}

%We hope you find write\LaTeX\ useful, and please let us know if you have any %feedback using the help menu above.

\end{document}