\documentclass[a4paper]{article}
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\title{Résolution numérique du problème inverse}
\begin{document}
\maketitle
\section{Le problème direct}
Voici le problème direct que nous allons être amenés à résoudre à chaque itération de notre algorithme:
\begin{equation}
\begin{cases}
u_{t} - Lu = \tilde{c}.\chi^{-1}.u + g &\quad (x,t)\in Q \\
u(x,0) = 0 &\quad x\in \Omega \\
Bu = b(x,t) &\quad (x,t) \in S\\
\end{cases}\\
\end{equation}\\
On utilise exactement les mêmes notations que dans Prilepko \& Kostin.
\section{Discrétisation et formulation variationnelle}
On discrétise le problème en temps selon le schéma de Crank - Nicolson :
\begin{equation}
\frac{u^{i+1}-u^{i}}{\Delta t} = \frac{1}{2}.\Bigg(Lu^{i+1} + \tilde{c}.\chi^{-1}.u^{i+1} + Lu^{i} + \tilde{c}.\chi^{-1}.u^{i} \Bigg) + g\\
\end{equation}\\
La formulation variationnelle est donc par exemple la suivante (pour L = $\Delta$, conditions de Dirichlet aux bords):\\
\begin{equation}
a(u^{i+1},v)=l(v)\\
\end{equation}
Avec:\\
\begin{equation}
a(u^{i+1},v) = \frac{1}{\Delta t} \int_{\Omega}u^{i+1}.v + \frac{1}{2} \int_{\Omega}\nabla u. \nabla v - \tilde{c}\chi^{-1}u^{i+1}.v\\
\end{equation}
\begin{equation}
l(v) = \frac{1}{\Delta t} \int_{\Omega}u^{i}.v + \frac{1}{2} \int_{\Omega}(Lu^{i} + \tilde{c}.\chi^{-1}.u^{i}).v
\end{equation}
\section{L'algorithme}
\subsection{L'opérateur A}
On rappelle la définition de l'opérateur A:
\begin{equation}
Ac = l(u_{t}(x,t,;c)) - L\chi - lg
\end{equation}
\subsection{Déroulement de l'algorithme}
\begin{itemize}
\item On initialise les constante $\Delta t$, $\delta>0$ et $T = n*\Delta t$, la variable $i=0$ et les fonctions $u^{0}=0$ , $c(x) < 0$ et $\chi(x)>0$.
\item Tant que $\parallel lu^{n}-\chi \parallel_{\infty} > \delta$ : (on ignore la condition à la première itération)
\begin{itemize}
\item Pour $i$ de $0$ à $n-1$:
\begin{itemize}
\item On calcule $u^{i+1}$ par résolution du problème direct
\end{itemize}
\item $c \gets Ac$ pour $u=u^{n} $
\end{itemize}
\item On renvoie la dernière valeur de $c$.
\end{itemize}
\end{document}
