Geometría Analítica
Author
CARLOS RODRÍGUEZ JASO
Last Updated
4 years ago
License
Creative Commons CC BY 4.0
Abstract
Geometría Analítica
Geometría Analítica
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\title{Geometría Analítica}
\author{Departamento de Matemáticas}
\date{2014}
\newcommand{\ies}{IES Pedro Cerrada}
\begin{document}
\maketitle
\begin{multicols*}{2}
\section{Vectores Libres}
Dados dos puntos en el plano (A y B, podemos trazar una flecha que vaya del primero al segundo. A esta flecha la llamaremos vector (fijo) y se denota $\overrightarrow{AB}$ o $\overrightarrow{v}$.
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
\coordinate (A) at (1,2);
\coordinate (B) at (6,4);
\draw [fill=blue] (A) circle (2pt) node [left] {A};
\draw [fill=blue] (B) circle (2pt) node [left] {B};
\draw [->, red, thick] (A) -- node[below] {$\overrightarrow{AB}$} (B);
\end{tikzpicture}
\begin{itemize}
\item \textbf{Módulo}: La longitud del vector
\item \textbf{Dirección}: La recta que contiene al vector y cualquiera de sus paralelas
\item \textbf{Sentido}: El que va del origen al final o su contrario. Viene representado por punta "la cabeza de la flecha"
\end{itemize}
Dos vectores (fijos) son \textbf{equipolentes} cuando tienen el mismo módulo, misma dirección y mismo sentido. Un vector fijo y todos sus equipolentes forman lo que de denomina un \textbf{vector libre}. Un vector libre viene determinado por sus coordenadas:
\section{Coordenadas y módulo de un vector} Un vector se puede ver como el desplazamiento que tenemos que hacer horizontalmente y verticalmente para ir del origen al extremo del mismo. Al desplazamiento horizontal le llamaremos primera coordenada y al vertical, segunda.
\begin{itemize}
\item Dados $A(x_1,y_2),B(x_2,y_2) \to \overrightarrow{AB}(x_2-x_1,y_2-y_1)$
\item A partir de las coordenadas del punto podremos calcular su módulo. Dados $\overrightarrow{u}(x,y), \to \left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{x^2+y^2}$
\end{itemize}
\subsection{Ejemplo}
Determina las coordenadas y el módulo del vector libre cuyo representante es el vector que va de $A(1,1)$ a $B(7,5)$
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm, scale=0.8]
\draw [color=lightgray,dash pattern=on 1pt off 1pt, xstep=1cm,ystep=1cm] (-0.6129302567150502,-0.43158220601634095) grid (9.010648940148005,6.1);
\draw[->,color=black] (-0.6129302567150502,0) -- (9.010648940148005,0);
\foreach \x in {,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0,-0.43158220601634095) -- (0,6.1);
\foreach \y in {,1,2,3,4,5,6}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-0.6129302567150502,-0.43158220601634095) rectangle (9.010648940148005,7.8783927087822985);
\draw [->,line width=1.5pt,color=red] (1,1) -- node[above,fill=white]{$\overrightarrow{v}=\left(6,4 \right) \land \left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}$} (7,5);
\draw [-,line width=2pt,color=blue] (1,1) -- node[below]{$7-1=6$} (7,1);
\draw [-,line width=2pt,color=orange] (7,1) -- node[right]{$5-1=4$}(7,5);
\draw [fill=yellow, color=blue] (1,1) circle (2pt) node[above] {$A = (1, 1)$};
\draw [fill=yellow, color=blue] (7,5) circle (2pt) node[above] {$B = (7, 5)$};
\end{tikzpicture}
\section{Operaciones con vectores}
\subsection{Producto de un número por un vector}
\paragraph*{Definición}
Dado $k \in \mathbb{R}$ y $\overrightarrow{u}$ se define $k\cdot\overrightarrow{u}$ como un $\overrightarrow{v}$ que:\begin{itemize}
\item $\left|\overrightarrow{v}\right|=\left|k\right|\cdot\left|\overrightarrow{u}\right|$
\item $ \overrightarrow{v}\samedir\overrightarrow{u}$
\item Mismo sentido que $\overrightarrow{u}$ si $k>0$ o sentido contrario si $k>0$
\end{itemize}Además se cumple que si $\overrightarrow{u}(x_1,y_1)\to k\overrightarrow{u}(k\cdot x_1,k\cdot y_1)$
\subsubsection{Ejemplos}\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
\draw [->, red, thick, fill=red] (1,1) -- node[left] {$\overrightarrow{u}(1,2)$} (2,3);
\draw [->, blue, thick, fill=blue] (2,-1) -- node[left] {$2\overrightarrow{u}(2,4)$} (4,3);
\draw [->, gray, thick, fill=blue] (6,1) -- node[left] {$\frac{1}{2}\overrightarrow{u}(0.5,1)$} (6.5,2);
\draw [->, orange, thick, fill=blue] (8,3) -- node[right] {$-\frac{3}{2}\overrightarrow{u}(1.5,3)$} (6.5,0);
\end{tikzpicture}
\subsection{Suma y resta de vectores}
\paragraph*{Definición} Dados $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ se define la suma como el vector que si los ponemos seguidos va del origen del primer vector al extremo del segundo vector.
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
\draw [->, red, thick, fill=red] (1,0) -- node[left] {$\overrightarrow{u}(1,2)$} (2,2);
\draw [->, blue, thick, fill=blue] (2,2) -- node[left] {$\overrightarrow{v}(4,1)$} (6,3);
\draw [->, orange, thick, fill=blue] (1,0) -- node[right] {$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}(5,3)$} (6,3);
\end{tikzpicture}
\end{multicols*}
\end{document}