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Ejercicios en LaTeX

Author:
Alvaro Polo Ulloque
License:
Creative Commons CC BY 4.0 ^(?)
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Abstract:
Mathematic homework exercise in LaTeX
Tags:
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% This is all preamble stuff that you don't have to worry about.
% Head down to where it says "Start here"
% --------------------------------------------------------------
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\title{Trabajo de estatica en \LaTeX}

\author{Beicker Baena Baldiris \and Yeison Sarmiento Lopez \and Yair Franco Puello \and 'Alvaro Polo Ulloque\and\ Dayana Jimenez Perez} 

\begin{titlepage}

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\center % Center everything on the page
 
%----------------------------------------------------------------------------------------
%	HEADING SECTIONS
%----------------------------------------------------------------------------------------

\textsc{\LARGE Universidad Tecnol\'ogica de Bol\'ivar}\\[1.5cm] % Name of your university/college
\textsc{\Large Est\'atica}\\[0.5cm] % Major heading such as course name
\textsc{\large }\\[0.5cm] % Minor heading such as course title

%----------------------------------------------------------------------------------------
%	TITLE SECTION
%----------------------------------------------------------------------------------------

\HRule \\[0.4cm]
{ \huge \bfseries Ejercicios en \LaTeX}\\[0.4cm] % Title of your document
\HRule \\[1.5cm]
 
%----------------------------------------------------------------------------------------
%	AUTHOR SECTION
%----------------------------------------------------------------------------------------

\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{flushleft} \large
\emph{Entregado por:}\\
Beicker Baena Baldiris \\ Yeison Sarmiento Lopez \\ Yair Franco Puello \\ \'Alvaro Polo Ulloque% Your name
\end{flushleft}
\end{minipage}
~
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{flushright} \large
\emph{Profesor:} \\
Alfredo \textsc{Abuchar} % Supervisor's Name
\end{flushright}
\end{minipage}\\[2cm]

% If you don't want a supervisor, uncomment the two lines below and remove the section above
%\Large \emph{Author:}\\
%John \textsc{Smith}\\[3cm] % Your name

%----------------------------------------------------------------------------------------
%	DATE SECTION
%----------------------------------------------------------------------------------------

{\large \today}\\[2cm] % Date, change the \today to a set date if you want to be precise

%----------------------------------------------------------------------------------------
%	LOGO SECTION
%----------------------------------------------------------------------------------------

\includegraphics[width=3in]{logolinea-bn.png}\\[1cm] % Include a department/university logo - this will require the graphicx package
 
%----------------------------------------------------------------------------------------

\vfill % Fill the rest of the page with whitespace

\end{titlepage}

\tableofcontents
\newpage
\section{Ejercicio 1}
\begin{par}
Se aplican dos fuerzas en el gancho de apoyo que se muestra en
la figura. Si se sabe que la magnitud de P es 35 N, determine por
trigonometría a) el ángulo  requerido, si la resultante R de las dos fuerzas
aplicadas en el gancho debe ser horizontal, y b) la magnitud correspondiente
de R.
\newline
\textbf{Datos}
P=35 N\newline
Q=50 N\newline
$\theta=25^{\circ}$\newline
$\alpha$=?\newline
\end{par}
correspondiente de $\alpha$.
 \begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=2in]{ejercicio_4.png}
\caption{Ejercicio 1}
\end{figure}
\begin{equation*}
\vec{Q}=-50\cos25\hat{\imath} + 50\sin25\hat{\jmath}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\vec{P}=-35\cos\alpha\hat{\imath}-35\sin\alpha\hat{\jmath}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\vec{F_{R}}=-F_{R}\hat{\imath}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\vec{F_{R}}=\vec{P}+\vec{Q}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\vec{F_{R}}=(-35\cos\alpha\hat{\imath}-35\sin\alpha\hat{\jmath}) +(-50\cos25\hat{\imath}+50\sen23\hat{\jmath})
\end{equation*}
\begin{equation*}
\vec{F_{R}}=(-35\cos\alpha-50\cos25)\hat{\imath} + (-35\sin\alpha+50\sin25)\hat{\jmath}
\end{equation*}
\begin{equation*}
-F_{R}=-35\cos\alpha-50\cos25
\end{equation*}
\begin{equation*}
0=-35\sin\alpha-50\sin25
\end{equation*}
\begin{equation*}
35\sin\alpha=50\sin25
\end{equation*}
\begin{equation*}
\sin\alpha=\frac{50}{35}\sin25
\end{equation*}
\begin{equation*}
\alpha=\arcsin\left(\frac{50}{35}\sin25\right)
\end{equation*}
$$ 37.13^(\circ)$$
\begin{equation*}
F_{R}=35\cos\alpha + 50\cos25
\end{equation*}
\begin{equation*}
F_{R}=35\cos37,13+ 50\cos25
\end{equation*}
$$F_{R}=73.22N$$


\section{Ejercicio 2}
\begin{par}
Si se sabe que la tensión en el cable BC es de 725 N, determine
la resultante de las tres fuerzas ejercidas en el punto B de la viga AB.
\end{par}
\newline
 \begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=4in]{ejercicio_2.png}
\caption{Ejercicio 2}
\end{figure}
\begin{equation*}
 \abs{\vec{F_{R}}}=\sqrt{F_{Rx}^2+F_{Ry}^2}
 \end{equation*}
\begin{equation*}
 \theta=\arctan\frac{\abs{F_{Ry}}}{\abs{F_{Rx}}}
 \end{equation*}
$$\theta=62,30^{\circ}$$
\begin{equation*}
 \abs{\vec{F_{R}}}=255,88N
 \end{equation*}
 $$T=750N$$
\begin{equation*}
 \vec{Q}=-500\cos\alpha\hat{\imath} -500\sin\alpha\hat{\jmath} \\
 \end{equation*}
\begin{equation*}
 \vec{p}=780\cos\beta\hat{\imath} -780\sin\beta\hat{\jmath}
 \end{equation*}
 \begin{equation*}
 \vec{T}=-725\cos\theta\hat{\imath} +725\sin\theta\hat{\jmath} \\
 \end{equation*}
 \begin{equation*}
 \vec{Q}=-500\cos(\frac{3}{5})\hat{\imath} -500\sin(\frac{4}{5})\hat{\jmath} \\
 \end{equation*}
 \begin{equation*}
 \vec{Q}=-300\hat{\imath}-400\hat{\jmath}
 \end{equation*}
 \begin{equation*}
\vec{P}=780\left(\frac{12}{13}\right)\hat{\imath}-780\left(\frac{5}{13}\right)\hat{\jmath}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\vec{P}=780\left(\frac{12}{13}\right)\hat{\imath}-780\left(\frac{5}{13}\right)\hat{\jmath}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\vec{P}=720\hat{\imath}-300\hat{\jmath}
\end{equation*}
\begin{equation*}
 \vec{T}=-725\left(\frac{21}{29}\right)\hat{\imath} +725\left(\frac{20}{24}\right)\hat{\jmath} \\
 \end{equation*}
\begin{equation*}
 \vec{T}=-525\hat{\imath} +500\hat{\jmath} \\
 \end{equation*}
\begin{equation*}
 \vec{F_{R}}=\vec{Q}+\vec{P}+\vec{T}
 \end{equation*}
\begin{equation*}
 \vec{F_{R}}=(-300\hat{\imath}-400\hat{\jmath})+(720\hat{\imath}-300\hat{\jmath})+(-326\hat{\imath}+500\hat{\jmath})
 \end{equation*}
\begin{equation*}
\vec{F_{R}}=(-300+700-525)\hat{\imath}+(-400-300+500)\hat{\jmath} 
\end{equation*}
\begin{equation*}
\vec{F_{R}}=-105\hat{\imath}-200\hat{\jmath} 
\end{equation*}
\newpage
\section{Ejercicio 3}
 \begin{par}
 Determine a) la tensión requerida en el cable AC, si se sabe que
la resultante de las tres fuerzas ejercidas en el punto C del aguilón BC debe
estar dirigida a lo largo de BC, b) la magnitud correspondiente de la resultante.
\newline
 \begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=2in]{ejercicio_3.png}
\caption{Ejercicio 3}
\end{figure}

\end{par}
\begin{equation*}
\vec{Q}=50\hat{\jmath}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\vec{p}=75\sin25\hat{\imath}-75\cos25\hat{\jmath}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\vec{P}=31.70\hat{\imath}-67.97\hat{\jmath}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\vec{T}=-T\cos65\hat{\imath}+T\sin65\hat{\jmath}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\vec{F_{R}}=-F_{R}\sen65\hat{\imath}+F_{R}\cos65\hat{\jmath}
\end{equation*}
\begin{equation*}
-\vec{F_{R}}=\vec{Q}+\vec{P}+\vec{T}
\end{equation*}
\begin{equation*}
-F_{R}\sin35\hat{\imath}-F_{R}\cos35\hat{\jmath}=-50\hat{\jmath} + (31.67\hat{\imath}-67.97\hat{\jmath})+(-T\cos65\hat{\imath}+T\sin65\hat{\jmath})
\end{equation*}
\begin{equation*}
-F_{R}\sin35\hat{\imath}-F_{R}\cos35\hat{\jmath}=(31.67-T\cos65)\hat{\imath}+(-50-67.97+T\sin65)\hat{\jmath}
\end{equation*}
\begin{equation*}
-F_{R}\sin35\hat{\imath}=(31.67-T\cos65)\hat{\imath}
\end{equation*}
\begin{equation*}
-F_{R}\cos35\hat{\jmath}=(-50-67.97+T\sin65)\hat{\jmath}
\end{equation*}
\begin{equation*}
T=\frac{117.97-F_{r}\cos35}{\cos65}
\end{equation*}
\begin{equation*}
T=\frac{117.97}{\cos65}-\frac{F_{r}\cos35}{\cos65} 
\end{equation*}
\begin{equation*}
T=279.14- F_{R}1.93
\end{equation*}
\begin{equation*}
-F_{R}\sen35=31.7-(279.14-F_{R}1.93)\sin65
\end{equation*}
\begin{equation*}
F_{R}(\sen35+1,75)=221.28
\end{equation*}
\begin{equation*}
F_{R}2.32=221.28
\end{equation*}
\begin{equation*}
F_{R}=\frac{221.28}{2.32}
\end{equation*}
$$F_{R}=121.68$$
$$T=-240.15$$
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ejercicio 4 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \section{Ejercicio 4}
 \begin{par}
En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Si se sabe que $P=500 N$ y $\alpha =60^{\circ}$. Determine la tensi\'on en los cables AC y BC. 
\end{par}
 \begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics [width=4in]{Imagen_sin_t_tulo.png}
\caption{Ejercicio 4}
\end{figure}
  \begin{equation*}
+ \rightarrow\sum \vec{F_x} = 0
 \end{equation*}
   \begin{equation}
T_{CB} cos(25^{\circ}) - T_{CA} cos(45^{\circ}) - P cos(60^{\circ})= 0
 \end{equation}
   \begin{equation*}
+ \uparrow\sum \vec{F_y} = 0
 \end{equation*}
   \begin{equation}
T_{CB} sin(25^{\circ}) + T_{CA} sin(45^{\circ}) - P sin(60^{\circ})= 0
 \end{equation}
  \begin{par}
Se suman (1) +(2)
\end{par}
   \begin{equation*}
T_{CB} sin(25^{\circ}) + T_{CB} cos(25^{\circ}) - P (sin(60^{\circ})+cos(60^{\circ}))= 0
 \end{equation*}
    \begin{equation*}
T_{CB} = \dfrac{P (sin(60^{\circ})+cos(60^{\circ}))}{sin(25^{\circ}) + cos(25^{\circ})}
 \end{equation*}
     \begin{equation*}
T_{CB} =513.96 [N]
 \end{equation*}
      \begin{equation*}
\vec{T_{CB}} =513.96 \angle 25^{\circ} [N]
 \end{equation*}
   \begin{par}
De (6)
\end{par}
    \begin{equation*}
T_{CA} = \dfrac{P sin(60^{\circ})+ T_{CB}sin(25^{\circ})}{sin(45^{\circ})}
 \end{equation*}
     \begin{equation*}
T_{CA} = 305.19 [N]
 \end{equation*}
      \begin{equation*}
T_{CA} = 305.19 \angle 45^{\circ}[N]
 \end{equation*}
 \newpage
\section{Ejercicio 5}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ejercicio 5
Para los cables de la figura se sabe que la tensión permisible máxima es de 600N en el cable AC y 750N en el cable BC.Determine:a)la máxima fuerza P que puede aplicarse en C, b)el valor correspondiente de $\alpha$.
 \begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics [width=4in]{Ejer5.png}
\caption{Ejercicio 5}
\end{figure}
\begin{par}
Este ejercicio es muy sencillo, simplemente se hace una sumatoria de fuerzas y se despejan los respectivos valores de P.
\end{par}
\begin{equation*}
 \Sigma \vec{F}=0  
 \end{equation*}
 \begin{equation*}
-600cos(45)\hat{\imath} + 600sin(45)\hat{\jmath}+750cos(25)\hat{\imath} + 750sin(25)\hat{\jmath}  - P= 0
 \end{equation*}
  \begin{equation*}
P= 255.466\hat{\imath} + 741.227\hat{\jmath}
 \end{equation*}
   \begin{equation*}
\abs{P}= \sqrt{255.466^2 + 741.227^2} = 784.0165 [N]
 \end{equation*}
   \begin{equation*}
\alpha= atan^{-1}\left(\dfrac{741.227}{255.466}\right) = 70.98^{\circ}
 \end{equation*}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% MELET %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Ejercicio 6}
\begin{par}
Un marco ABC está sostenido en parte por el cable DBE, el cual
pasa a través de un anillo sin fricción en B. Si se sabe que la tensión en el
cable es de 385 N, determine las componentes de la fuerza ejercida por
el cable sobre el soporte en D.
\end{par}
\newline
 \begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=2in]{ejercicio_5.png}
\caption{Ejercicio 6}
\end{figure}
\begin{equation*}
T=T_{BD}=T_{BE}=385N
\end{equation*}
\begin{equation*}
\vec{F_{BD}}=T\hat{\lambda_{BD}}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\vec{F_{BE}}=T\hat{\lambda_{BE}}
\end{equation*}
$$------------$$
\begin{equation*}
\lambda_{BD}=\frac{\vec{BD}}{\abs{\vec{BD}}}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\lambda_{BE}=\frac{\vec{BE}}{\abs{\vec{BE}}}
\end{equation*}
$$-------------$$
\begin{equation*}
\vec{BD}=-480\hat{\imath}+510\hat{\jmath}-(600-280)\hat{k}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\vec{BD}=-480\hat{\imath}+510\hat{\jmath}-300\hat{k}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\vec{BE}=-270\hat{\imath}+400\hat{\jmath}-600\hat{k}
\end{equation*}
\begin{par}
se le saca la magnitud a los dos vectores
\end{par}
\centering
\begin{equation*}
\abs{\vec{BD}}=770
\end{equation*}
\begin{equation*}
\abs{\vec{BE}}=770
\end{equation*}
\begin{equation*}
\lambda_{BD}=-\frac{48}{77}\hat{\imath}+ \frac{51}{77}\hat{\jmath}+\frac{32}{77}\hat{k}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\lambda_{BE}=-\frac{22}{77}\hat{\imath}+ \frac{40}{77}\hat{\jmath}-\frac{60}{77}\hat{k}
\end{equation*}
$$\vec{F}=\frac{385}{77}=5$$
\begin{equation*}
\vec{F_{BD}}=-240\hat{\imath}+ 255\hat{\jmath}-160\hat{k}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\vec{F_{BE}}=-135\hat{\imath}+ 200\hat{\jmath}-300\hat{k}
\end{equation*}
\newpage
\section{Ejercicio 7}
\begin{par}
Un contenedor de peso W está suspendido del aro A, al cual se unen los cables AC y AE. Una fuerza P se aplica al extremo F de un tercer cable que pasa sobre una polea en B y a través del anillo A y que está unido al soporte en D. Si se sabe que W=1000N, determine la magnitud de P.
\end{par}
 \begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics [width=4in]{Ejer7.png}
\caption{Ejercicio 7}
\end{figure}
\begin{par}
La sumatoria de todos los vectores fuerza es 0.
\end{par}

 \begin{par}
Una fuerza se descompone en el vector unitario ($\lambda_{xx}$) multiplicado por la magnitud.
\end{par}
\begin{equation*}
 \vec{T_{AB}}+\vec{T_{AC}}+\vec{T_{AD}}+\vec{T_{AE}}+\vec{w}=0 
 \end{equation*}
\begin{equation*}
 \vec{T_{AB}}=\lambda_{AB} T_{AB}= P \lambda_{AB}
 \end{equation*}
 \begin{equation*}
 \vec{T_{AC}}=\lambda_{AC} T_{AC}
 \end{equation*}
 \begin{equation*}
 \vec{T_{AD}}=\lambda_{AD} T_{AD}= P \lambda_{AD}
 \end{equation*}
 \begin{equation*}
 \vec{T_{AE}}=\lambda_{AE} T_{AE}
 \end{equation*}
 \begin{equation*}
w=-1000\hat{j}
 \end{equation*}
 \newline
\begin{par}
Se hallan cada uno de los vectores unitarios:
\end{par}
\begin{equation*}
 \lambda_{AB}=?
 \end{equation*}
\begin{equation*}
\dfrac{\vec{AB}}{\norm{\vec{AB}}}=\dfrac{-0.78\hat{\imath} + 1.60 \hat{\jmath}}{\sqrt{(-0.78)^2 + 1.60^2}}
 \end{equation*}
  \begin{equation*}
 \lambda_{AB}=\dfrac{\vec{AB}}{\norm{\vec{AB}}} = -0.4382\hat{\imath} +0.8989\hat{\jmath}
 \end{equation*}
\newline
  \begin{equation*}
\vec{T_{AB}}=(-0.4382 P\hat{\imath} + 0.8989 P\hat{\jmath})*T_{AB}
 \end{equation*}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% AC %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   \begin{equation*}
\lambda_{AC}=?
 \end{equation*}
   \begin{equation*}
\vec{AC}=1.60\hat{\jmath} + 1.20 P\hat{k}
 \end{equation*}
    \begin{equation*}
\abs{AC}=2 m
 \end{equation*}
    \begin{equation*}
\lambda_{AC}=0.8\hat{\jmath} + 0.6 P\hat{k}
 \end{equation*}
 \newline
  \begin{equation*}
\vec{T_{AC}}=0.8 T_{AC}\hat{\jmath} + 0.6 T_{AC}\hat{k}
 \end{equation*}
 \newline
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% AD %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \begin{equation*}
\lambda_{AD}=?
 \end{equation*}
   \begin{equation*}
T_{AD}=1.30\hat{\imath} + 1.60\hat{\jmath}+ 0.40\hat{k}
 \end{equation*}
     \begin{equation*}
\abs{AD}=2.10 m
 \end{equation*}
     \begin{equation*}
\lambda_{AD}=0.6190\hat{\imath} + 0.7619\hat{\jmath}+0.1905\hat{k} 
 \end{equation*}
  \begin{equation*}
\vec{T_{AD}}=0.190 P\hat{\imath} + 0.7619 P\hat{\jmath}+0.1905\hat{k} 
 \end{equation*}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% AE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
   \begin{equation*}
\lambda_{AE}=?
 \end{equation*}
   \begin{equation*}
T_{AE}=-0.4\hat{\imath} + 1.60\hat{\jmath}-0.86\hat{k}
 \end{equation*}
     \begin{equation*}
\abs{AE}=1.86 m
 \end{equation*}
     \begin{equation*}
\lambda_{AE}=-0.2150\hat{\imath} + 0.8602\hat{\jmath}-0.4624\hat{k}
 \end{equation*}
  \begin{equation*}
\vec{T_{AE}}=-0.2150 T_{AE}\hat{\imath} + 0.8602 T_{AE}\hat{\jmath}-0.4624 T_{AE}\hat{k}
 \end{equation*}
 \begin{par}
Reescribiendo la sumatoria de fuerzas:
\end{par}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% SGTE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{multline*}
(-0.4382 P\hat{\imath} + 0.8989 P\hat{\jmath}) + (0.8 T_{AC}\hat{\jmath} + 0.6 T_{AC}\hat{k}) + (0.190 P\hat{\imath} + 0.7619 P\hat{\jmath}+0.1905\hat{k}) + \\
(-0.2150 T_{AE}\hat{\imath} + 0.8602 T_{AE}\hat{\jmath}-0.4624 T_{AE}\hat{k}) + (-1000\hat{\jmath}) = 0
\end{multline*}
 \begin{par}
Agrupando por vectores:
\end{par}
  \begin{multline*}
\mapsto (-0.4382P+0.6190P-0.2150T_{AE})\hat{\imath} \\
(0.89899P+0.8T_{AC}+0.7619P+0.8602T_{AE}-1000)\hat{\jmath} \\
(0.6T_{AC}+0.1905P-0.4624T_{AE})\hat{k} = 0
 \end{multline*}
 \begin{par}
Escribiendo las ecuaciones por separado:
\end{par}
   \begin{equation}
\hat{\imath}: 0.1808P - 0.2150 T_{AE}=0
 \end{equation}
    \begin{equation}
\hat{\jmath}: 1.6608P+ 0.8T_{AC}+0.8602T_{AE}-1000=0
 \end{equation}
     \begin{equation}
\hat{k}: 0.6T_{AC}+0.1905P-0.4624T_{AE}=0
 \end{equation}
\begin{par}
 Ahora se suman las ecuaciones 2 y 3
\end{par}
      \begin{equation*}
0.6*(4) - 0.8*(5)
 \end{equation*}
 \newline
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Aqui estan las ecuaciones restadas, %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{equation*}
\begin{split}
0.9965P+0.48T_{AC}+0.5161T_{AE}-600 &=0\\
-0.1524P-0.48T_{AC}+0.3699T_{AE} &=0\\
\end{split}
\end{equation*}
\newline
     \begin{equation}
0.8441P + 0.8860T_{AE}=600
 \end{equation}
\begin{par}
	De (3) $\mapsto$ $T_{AE} = \dfrac{0.1808P}{0.2150}$
\end{par}
\newline
\begin{par}
	De (6) $\mapsto$ $T_{AE} = \dfrac{600-0.8441P}{0.886}$
\end{par}
      \begin{equation*}
     \mapsto \dfrac{0.1888P}{0.2150}=\dfrac{600-0.8441P}{0.886}
 \end{equation*}
       \begin{equation*}
      0.8409P=677.20 -0.9527P
 \end{equation*}
        \begin{equation*}
      0.8409P + 0.9527P = 677.20 
 \end{equation*}
         \begin{equation*}
     1.7936P = 677.20 
 \end{equation*}
 \begin{equation*}
     P = \dfrac{677.20}{1.7936}
 \end{equation*}
  \begin{equation*}
     P = 377.56 [N]
 \end{equation*}
 \newpage 

\section{Ejercicio 8}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% EJERCICIO 8
\begin{par}
Los collarines A y B se conectan por medio de un alambre de 525mm de largo y pueden deslizarse libremente sin fricción sobre las varillas. Si una fuerza P de 341N se aplica al collarín A, determine: a)la tensión en el alambre cuando y=155mm, b)la magnitud de la fuerza Q requerida para mantener el equilibrio del sistema.
\end{par}
 \begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics [width=4in]{Ejer8.png}
\caption{Ejercicio 8}
\end{figure}
\begin{par}
Primero se halla la magnitud de Z
\end{par}
\begin{equation*}
\norm{AB}=x^2+y^2+z^2
 \end{equation*}
 \begin{equation*}
\norm{AB}-(x^2+y^2)=z^2
 \end{equation*}
  \begin{equation*}
\sqrt{525^2 - 200^2 - 155^2}=z
 \end{equation*}
   \begin{equation*}
z=460 mm
 \end{equation*}
 \begin{par}
Ahora se halla la tension en $T_{AB}$. Para esto se hace diagrama de cuerpo libre en A
\end{par}
\begin{equation*}
 \Sigma \vec{F}=0  
 \end{equation*}
 \begin{equation*}
N_x \hat{\imath} + P \hat{\jmath} + N_z\hat{k}+ T_{AB} \lambda_{AB} = 0
 \end{equation*}
 \begin{par}
Solamente se va a tomar la componente en j.
\end{par}
  \begin{equation*}
\hat{\jmath}: P + T_{AB} \lambda_{AB_{\hat{\jmath}}}  = 0
 \end{equation*}
  \begin{equation*}
\lambda_{AB_{\hat{\jmath}}}  = -\dfrac{155}{525}
 \end{equation*}
   \begin{equation*}
   P - T_{AB} \dfrac{155}{525}  = 0
 \end{equation*}
 \begin{equation*}
   T_{AB}   = \dfrac{525 * (341 N)}{155}
 \end{equation*}
  \begin{equation*}
   T_{AB}   = 1155 [N]
 \end{equation*}
  \begin{par}
Ahora se hace la sumatoria de fuerzas en el collarin B.
\end{par}
 \begin{equation*}
N_x \hat{\imath} + Q \hat{k} + N_y\hat{\jmath} - T_{AB} \lambda_{AB} = 0
 \end{equation*}
   \begin{par}
Se toma la componente en z de la sumatoria. 
\end{par}
  \begin{equation*}
\hat{k}: Q + T_{AB} \lambda_{AB_{\hat{k}}}  = 0
 \end{equation*}
  \begin{equation*}
\lambda_{AB_{\hat{k}}}  = -\dfrac{460}{525}
 \end{equation*}
   \begin{equation*}
   Q - T_{AB} \dfrac{460}{525}  = 0
 \end{equation*}
 \begin{equation*}
   Q = \dfrac{460 * 1155[N]}{525} 
 \end{equation*}
  \begin{equation*}
   Q   = 1012 [N]
 \end{equation*}
\newpage%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ejercicio 7 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Ejercicio 9}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% EJERCICIO 9
Determine el alargamiento de cada uno de los dos resortes requeridos paramantener el cajón de $20kg$ en la posición de equilibrio mostrada. Cada resorte tiene una longitud no alargada de 2m y rigidez $k=300N/m$.
 \begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics [width=4in]{Ejer9.png}
\caption{Ejercicio 9}
\end{figure}

 \begin{equation*}
\vec{F_{OC}} = \lambda_{OC}F_{OC}
\end{equation*}
 \begin{equation*}
\lambda_{OC}=\dfrac{6\hat{\imath}+4\hat{\jmath}+12\hat{k}}{\sqrt{6^2+4^2+12^2}} = \dfrac{6}{14}\hat{\imath} +\dfrac{4}{14}\hat{\jmath}+\dfrac{12}{14}\hat{k}
\end{equation*}
\begin{par}
Ahora si se hace la sumatoria de fuerzas:
\end{par}
\begin{equation*}
 \Sigma \vec{F}=0  
 \end{equation*}
 \begin{equation*}
 \vec{F_{OC}}+\vec{F_{AO}}+\vec{F_{BO}} - W =0
 \end{equation*}

  \begin{equation*}
( \dfrac{6  F_{OC}}{14} + F_{BO})\hat{\imath}+(\dfrac{4 F_{OC}}{14} + F_{AO})\hat{\jmath} + (\dfrac{12  F_{OC}}{14}-(20*9.8))\hat{k} =0
 \end{equation*}
 \begin{par}
Se despeja $F_{OC}$
\end{par}
  \begin{equation*}
\dfrac{12  F_{OC}}{14}-20*9.8=0
 \end{equation*}
   \begin{equation*}
 F_{OC}=\dfrac{20*9.8*14}{12} = 228.67 [N]
 \end{equation*}
  \begin{par}
Se despeja $F_{OB}$
\end{par}
   \begin{equation*}
\dfrac{6  *228.67}{14} + F_{BO}=0
 \end{equation*}
  \begin{equation*}
F_{BO}=-98.001[N]
 \end{equation*}
   \begin{par}
Sabiendo que la funcion de un resorte es $F=-\Delta s *k$ se puede saber la enlongacion del resorte OB.
\end{par}
\begin{equation*}
F=-\Delta s *k
 \end{equation*}
 \begin{equation*}
\Delta s =-\dfrac{F}{k}
 \end{equation*}
 \begin{equation*}
\Delta s_{BO} =-\dfrac{-98.001}{300} = 0.32m
 \end{equation*}
   \begin{par}
Ahora se hace el mismo procedimiento para $F_{AO}$
\end{par}
  \begin{equation*}
\dfrac{4  *228.67}{14} + F_{AO}=0
 \end{equation*}
  \begin{equation*}
F_{BO}=-65.33[N]
 \end{equation*}
   \begin{par}
Sabiendo que la funcion de un resorte es $F=-\Delta s *k$ se puede saber la enlongacion del resorte OB.
\end{par}
\begin{equation*}
F=-\Delta s *k
 \end{equation*}
 \begin{equation*}
\Delta s =-\dfrac{F}{k}
 \end{equation*}
 \begin{equation*}
\Delta s_{AO} =-\dfrac{-65.33}{300} = 0.21m
 \end{equation*}
\newpage
\section{Ejercicio 10}
\begin{par}
Una fuerza P de 8 lb se aplica a una palanca de cambios. Determine el momento de P alrededor de B cuando a es igual a 25º.
\end{par}
\newline
 \begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=2in]{ejercicio_6.png}
\caption{Ejercicio 10}
\end{figure}

\begin{equation*}
\arctan\left(\frac{22}{8}\right)=\beta
\end{equation*}
\begin{equation*}
\beta=70.01^\circ
\end{equation*}
\begin{equation*}
AB=\sqrt{8^2+22^2}
\end{equation*}
$$AB=23.4 in$$
\begin{equation*}
M=(AB)(P)(\cos(\beta+\alpha-90)
\end{equation*}
$$M=186.56 Lb.in$$
\newpage
\section{Ejercicio 11}
\begin{par}
Utilice el análisis vectorial cartesiano para determinar el momento resultante de las tres fuerzas con respecto a la base de la columna localizada en A. Considere:
\end{par}
\newline
 \begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=2in]{ejercicio_7.png} 
\caption{Ejercicio 11}
\end{figure}
\begin{par}
Se tienen estas 3 fuerzas:
\end{par}
\begin{equation*}
F_{1}=400\hat{\imath} + 300\hat{\jmath}+ 120\hat{k}
\end{equation*}
\begin{equation*}
F_{2}=100\hat{\imath} - 100\hat{\jmath}- 60\hat{k}
\end{equation*}
\begin{equation*}
F_{3}=0\hat{\imath} + 0\hat{\jmath}- 500\hat{k}
\end{equation*}
\begin{par}
Y estos 3 brazos de palanca:
\end{par}
\begin{equation*}
R_{1}=0\hat{\imath} + 0\hat{\jmath}+ 12\hat{k}
\end{equation*}
\begin{equation*}
R_{2}=0\hat{\imath} + 0\hat{\jmath}+ 12\hat{k}
\end{equation*}
\begin{equation*}
R_{3}=0\hat{\imath} - 1\hat{\jmath}+ 8\hat{k}
\end{equation*}
\begin{par}
Se hacen los productos cruz. 
\end{par}
\begin{equation*}
M_{1}=  <400\hat{\imath} + 300\hat{\jmath}+ 120\hat{k}>\times<0\hat{\imath} + 0\hat{\jmath}+ 12\hat{k}>
\end{equation*}

\begin{equation*}
M_{2}=  <100\hat{\imath} - 100\hat{\jmath}- 60\hat{k}>\times<0\hat{\imath} + 0\hat{\jmath}+ 12\hat{k}>
\end{equation*}
\begin{equation*}
M_{3}=  <0\hat{\imath} + 0\hat{\jmath}- 500\hat{k}>\times<0\hat{\imath} - 1\hat{\jmath}+ 8\hat{k}>
\end{equation*}
\begin{par}
Se suman los resultados de los productos cruz para hallar la respuesta: 
\end{par}
\begin{equation*}
M_{A}=M_{1}+M_{2}+M_{3}
\end{equation*}
\begin{equation*}
M_{A}=1900\hat{\imath} - 6000\hat{\jmath} + 0\hat{k}
\end{equation*}
\newpage
\section{Ejercicio 12}
\begin{par}
Para la estructura y la carga de la siguiente figura determine el valor de $\alpha $ para el que la tension del cable BC es minima y su correspondiente valor de tension.
\end{par} 
\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=2in]{Ejer12.PNG} 
\caption{Ejercicio 12}
\end{figure}
\begin{par}
Se hace diagrama de cuerpo libre en C y se sacan la siguiente formula:
\end{par}
\begin{equation*}
 \Sigma \vec{F}=0  
 \end{equation*}
\begin{equation*}
 \vec{T_{BC}}+\vec{F_{AC}}+ 300 \lambda_{C}= 0 
 \end{equation*}
 \begin{par}
Para que la tension BC sea minima, debe ser totalmente perpendicular a la barra AC, entonces no dice que ABC es un triangulo recto. Para hallar $\alpha $ simplemente se debe hacer la suma de los angulos del triangulo:
\end{par}
\begin{equation*}
90^{\circ} + 30^{\circ} + \alpha = 180^{\circ}
 \end{equation*}
 \begin{equation*}
\alpha = 180^{\circ}-90^{\circ} - 30^{\circ} 
 \end{equation*}
  \begin{equation*}
\alpha = 60^{\circ} 
 \end{equation*}
 \begin{par}
Ahora para hallar $T_{BC}$ se despeja del sistema de ecuaciones de $2\times 2$ que quedo:
\end{par}
 \begin{equation}
 T_{BC} cos(60^{\circ}) + F_{AC}cos(30^{\circ}) - 300cos(20^{\circ}) = 0 
 \end{equation}
 \begin{equation*}
 F_{AC}=\dfrac{300cos(20^{\circ}) -T_{BC} cos(60^{\circ})}{cos(30^{\circ})}  
 \end{equation*}
 
 \begin{equation}
-T_{BC} sin(60^{\circ}) +F _{AC}sin(30^{\circ}) + 300sin(20^{\circ}) = 0 
 \end{equation}
 \begin{equation*}
-T_{BC} sin(60^{\circ}) +\dfrac{ 300cos(20^{\circ}) -T_{BC} cos(60^{\circ})}{cos(30^{\circ})}  sin(30^{\circ}) + 300sin(20^{\circ}) = 0 
 \end{equation*}
  \begin{equation*}
-T_{BC} sin(60^{\circ}) +\dfrac{300cos(20^{\circ})sin(30^{\circ}) }{cos(30^{\circ})} - \dfrac{T_{BC} cos(60^{\circ})sin(30^{\circ}) }{cos(30^{\circ})}+ 300sin(20^{\circ}) = 0 
 \end{equation*}
   \begin{equation*}
T_{BC} \left(sin(60^{\circ}) + \dfrac{cos(60^{\circ})sin(30^{\circ}) }{cos(30^{\circ})}\right) = 300\left(\dfrac{cos(20^{\circ})sin(30^{\circ}) }{cos(30^{\circ})} + sin(20^{\circ})\right)
 \end{equation*}
    \begin{equation}
T_{BC} = \dfrac{300\left(\dfrac{cos(20^{\circ})sin(30^{\circ}) }{cos(30^{\circ})} + sin(20^{\circ})\right)}{sin(60^{\circ}) + \dfrac{cos(60^{\circ})sin(30^{\circ}) }{cos(30^{\circ})}}
 \end{equation}
  \begin{par}
Esa expresion puede reducirse utilizando indentidades tringonometricas
\end{par}
  \begin{equation*}
\dfrac{cos(20^{\circ})sin(30^{\circ}) }{cos(30^{\circ})} + sin(20^{\circ}) = \dfrac{cos(20^{\circ})sin(30^{\circ}) + sin(20^{\circ})cos(30^{\circ})}{cos(30^{\circ})}
 \end{equation*}
\begin{par}
Utilizando la identidad $ sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)$ la expresion se reduce a:
\end{par}
  \begin{equation*}
\dfrac{cos(20^{\circ})sin(30^{\circ}) + sin(20^{\circ})cos(30^{\circ})}{cos(30^{\circ})} = \dfrac{sin(50^{\circ})}{cos(30^{\circ})}
 \end{equation*}
   \begin{par}
Aplicando tambien a la segunda quedaria de la siguiente forma:
\end{par}
 \begin{equation*}
sin(60^{\circ}) + \dfrac{cos(60^{\circ})sin(30^{\circ}) }{cos(30^{\circ})} = \dfrac{sin(90^{\circ})}{cos(30^{\circ})} = \dfrac{1}{cos(30^{\circ})}
\end{equation*}
   \begin{par}
Volviendo a la ecuacion (9):
\end{par}
\begin{equation*}
T_{BC} = \dfrac{300\dfrac{sin(50^{\circ})}{cos(30^{\circ})}}{\dfrac{1}{cos(30^{\circ})}}
 \end{equation*}
    \begin{par}
Se cancelan los $cos(30)$ y la expresion  final es:
\end{par}
 \begin{equation*}
T_{BC} = 300sin(50^{\circ}) = 229.81lb
 \end{equation*}
 \newpage
 \section{Ejercicio 13} %%%%%%%%%%%%%%%% Ejercicio 13
     \begin{par}
El collarin A puede deslizarse sin friccion sobre una barra horizontal y esta conectado a una carga de $50lb$, como se muestra en la figura. Determine la distancia $x$ para la cual el collarin se conserva en equilibrio cuando $P=48lb$.
\end{par}
\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=2in]{Ejer13.PNG} 
\caption{Ejercicio 13}
\end{figure}
     \begin{par}
Se hace diagrama de cuerpo libre en el collarin.
\end{par}
 \begin{equation*}
\sum \vec{F} =0
 \end{equation*}
  \begin{equation*}
-48\hat{\imath} - N \hat{\jmath} + 50 \lambda_{AC} = 0
 \end{equation*}
      \begin{par}
Como La fuerza P y N son perpendiculares se puede armar un triangulo rectangulo donde 50 es la hipotenusa. Simplemente se despeja el cateto N.
\end{par}
\begin{equation*}
50^2= 48^2 + N^2
 \end{equation*}
 \begin{equation*}
50^2- 48^2 = N^2
 \end{equation*}
  \begin{equation*}
N=14
 \end{equation*}
       \begin{par}
Para hallar la distancia a la cual el sistema se encuentra en equilibrio, se utiliza la semejanza de triangulos. 14  es a 20 como 48 es a la distancia que se desconoce.
\end{par}
  \begin{equation*}
\dfrac{x}{20}= \dfrac{48}{14}
 \end{equation*}
   \begin{equation*}
x= \dfrac{48*20}{14} = 68.57 in
 \end{equation*}
\newpage
\section{Ejercicio 14} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ejercicio 14
     \begin{par}
Una torre de transmision se sostiene mediante tres alambres los cuales estan anclados por medio de pernos en B, C y D. Si la tension en el alambre AD es de $315lb$, determine las componentes de la fuerza ejercicida por el alambre sobre el perno en D.
\end{par}
\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=2in]{ejer14.PNG} 
\caption{Ejercicio 14}
\end{figure}
       \begin{par}
Primero se halla el vector unitario AD
\end{par}
   \begin{equation*}
\lambda_{DA}=\dfrac{20\hat{\imath} + 100\hat{\jmath} + 74\hat{k}}{\sqrt{20^2 + 100^2 + 74^2}}
 \end{equation*}
    \begin{equation*}
\lambda_{DA}=0.1587\hat{\imath} + 0.79365\hat{\jmath} + 0.5873\hat{k}
 \end{equation*}
        \begin{par}
Ahora se multiplica la magnitud de la fuerza por el vector unitario $\lambda_{DA}$:
\end{par}
    \begin{equation*}
315\lambda_{DA}=50\hat{\imath} + 250\hat{\jmath} + 185\hat{k}
 \end{equation*}
\newpage
\section{Ejercicio 15} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ejercicio 15
     \begin{par}
Si el cilindro E pesa $30lb$ y $\theta=15^{\circ}$ determine el peso del cilindro F.
\end{par}
\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=2in]{ejer15.PNG} 
\caption{Ejercicio 15}
\end{figure}
 \begin{par}
Se hace sumatoria de fuerzas en el anillo C.
\end{par}
\begin{equation*}
\sum F_x = 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
\vec{F_{BC}} + \vec{F_{CD}} - W_E = 0
\end{equation*}
 \begin{par}
Se escriben las ecuaciones correspondientes a las dos dimensiones:
\end{par}
\begin{equation}
\hat{\imath}: F_{BC} cos(15^{\circ}) - F_{CD} cos(30^{\circ}) = 0
\end{equation}
\begin{equation}
\hat{\jmath}: -F_{BC} sin(15^{\circ}) + F_{CD} sin(30^{\circ}) - 30 = 0
\end{equation}
 \begin{par}
$sin(15)*(10) + cos(15)*(11)$
\end{par}
\begin{equation*}
 F_{BC} sin(15) cos(15) - F_{CD} sin(15) cos(30) = 0 
\end{equation*}
\begin{equation*}
-F_{BC} cos(15) sin(15) + F_{CD}cos(15) sin(30) - 30 cos(15)= 0
\end{equation*}
$------------$
\begin{equation*}
 - F_{CD} sin(15) cos(30) + F_{CD}cos(15) sin(30) - 30 cos(15) = 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
  F_{CD}( -sin(15) cos(30) +cos(15) sin(30)) = 30 cos(15) 
\end{equation*}

\begin{par}
Utilizando la identidad $ sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)$ la expresion se reduce a:
\end{par}
\begin{equation*}
  F_{CD}( sin(15)) = 30 cos(15) 
\end{equation*}
\begin{equation*}
  F_{CD} = \dfrac{30 cos(15)}{ sin(15)} = 111.96 lb
\end{equation*}
\begin{par}
Ahora reemplazando $ F_{CD}$ en (10)
\end{par}
\begin{equation*}
F_{BC} cos(15^{\circ}) - 111.96 cos(30^{\circ}) = 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
F_{BC} cos(15^{\circ}) = 111.96 cos(30^{\circ}) 
\end{equation*}
\begin{equation*}
F_{BC}  = \dfrac{111.96 cos(30^{\circ}) }{cos(15^{\circ})} = 100.38 lb
\end{equation*}
\begin{par}
Ahora se hace sumatoria de fuerzas en el anillo B.
\end{par}
\begin{equation*}
+\rightarrow \sum F_x = 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
F_{BA} cos(45) - F_{BC} cos(15) = 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
F_{BA} cos(45) - 100.38 cos(15) = 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
F_{BA} =\dfrac{100.38 cos(15)}{cos(45)} = 137.12 lb
\end{equation*}
\begin{par}
Ya sabiendo $F_{BA}$ se hace sumatoria de fuerzas en $y$:
\end{par}
\begin{equation*}
+\uparrow \sum F_y = 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
137.12 sin(45) + 100.38 sin(15) - W_F = 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
W_F =137.12 sin(45) + 100.38 sin(15) 
\end{equation*}
\begin{equation*}
W_F =123 lb
\end{equation*}
\newpage
\section{Ejercicio 16} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ejercicio 16
     \begin{par}
Los resortes en la cuerda ya estan estirados $1ft$ cuando $\theta=0$. Determine la fuerza vertical F que debe ser aplicada para que $\theta=30^{\circ}$.
\end{par}
\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=2in]{ejer16.PNG} 
\caption{Ejercicio 16}
\end{figure}
     \begin{par}
Primero se halla la enlongacion del resorte a $30^{\circ}$. Para estop se debe saber cuanto mide la cuerda BA cuando esta a $30^{\circ}$:
\end{par}
\begin{equation*}
cos(30)=\dfrac{2}{h}
\end{equation*}
\begin{equation*}
h=\dfrac{2}{cos(30)} = 2.309 ft
\end{equation*}
     \begin{par}
Esta es la longitud final de la cuerda BA. Si originalmente la cuerda media 2 ft esto quiere decir que se estiro $0.3094 ft$ mas $1ft$ que estaba estirado cuando $\theta=0$ entonces el resorte esta estirado $ 1.3094 ft$. Ahora se reemplaza esto en la ecuacion de fuerza del resorte para saber cuanta fuerza estan aplicando los resortes.
\end{par}
\begin{equation*}
F_r = k * \Delta x
\end{equation*}
\begin{equation*}
F_r = 30 * 1.309 = 39.28 lb
\end{equation*}
\begin{par}
Sabiendo esto, simplemente se hace una sumatoria de fuerzas en $y$ para saber la magnitud de la fuerza F.
\end{par}
\begin{equation*}
+\uparrow \sum F_y = 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
2* 39.28 * sin(30) - F = 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
F = 39.28 lb
\end{equation*}
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