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\mdfdefinestyle{exercise}{
backgroundcolor=black!10,roundcorner=8pt,hidealllines=true,nobreak
}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{E6: Festkörperphysik}
\rhead{Übungsblatt 13}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{33}
\item \textbf{Frequenzabhängigkeit der elektrischen Leitfähigkeit}
\begin{mdframed}[style=exercise]
Verwenden Sie die Gleichung $m\qty(\dv{v}{t}+\frac{v}{\tau})=-eE$ für die Driftgeschwindigkeit $v$ der Elektronen um zu zeigen, dass die Leitfähigkeit bei der Frequenz $\omega$ gleich
\begin{align*}
\sigma (\omega) &= \sigma(0)\qty(\frac{1+i\omega\tau}{1+\qty(\omega\tau)^2})
\end{align*}
ist, wobei $\sigma (0)=ne^2\tau/m$.\\
\textit{Hinweis:} Verwenden Sie $v=e^{-i\omega t}$
\end{mdframed}
\begin{align*}
\dv{v}{t} &= -i\omega\cdot v\\
m\qty(-i\omega\cdot v + \frac{v}{\tau}) &= -eE\\
\Leftrightarrow v &= \frac{-eE/m}{-i\omega+\frac{1}{\tau}}=\tau\frac{-eE/m}{-i\omega\tau+1}\stackrel{\text{c.c.}}{=}\tau\frac{-eE/m}{\qty(\omega\tau)^2+1}\qty(i\omega\tau+1)\\
j&=-nev\qquad\sigma=\frac{j}{E}\\
\Rightarrow\sigma(\omega) &= \underbrace{\frac{-ne}{E}\tau\qty(-eE/m)}_{=ne^2\tau/m=\sigma (0)}\frac{1+i\omega\tau}{1+\qty(\omega\tau)^2}
\end{align*}
\item \textbf{Spezifische Wärme von Metallen}
\begin{mdframed}[style=exercise]
Bei Metallen gibt es einen Gitterbeitrag und einen elektronischen Beitrag zur spezifischen Wärme. Berechnen Sie beide Beiträge für Kupfer für die Temperaturbereiche $T\ll\Theta$ und $T\gg\Theta$ ($\Theta$ Debye-Temperatur). Nehmen Sie hierzu an, dass die in der Vorlesung abgeleiteten Formeln für die Debye-Näherung den Gitteranteil beschreiben und die im Modell freier Elektronen abgeleiteten
Formeln den elektronischen Anteil richtig beschreiben. Die atomare Konzentration von
Kupfer ist $n=\SI{8.45e22}{\per\centi\metre\cubed}$. Ein Elektron pro Atom trägt zum Elektronengas bei. $\Theta_{\mathrm{Cu}}=\SI{343}{\kelvin}$, $T_{\mathrm{F,Cu}}=\SI{8.16e4}{\kelvin}$. Für welche Temperaturen sind der Gitteranteil und der elektronische Anteil von $C_V$ gleich gross? Ist dieser Wert für $T\gg\Theta$ sinnvoll?
\end{mdframed}
\begin{itemize}
\item Gitteranteil
\begin{align*}
T\gg\Theta : \qquad C_{\mathrm{V,Gitter}} &= 3nk_B = \SI{3.5}{\joule\per\centi\metre\cubed\per\kelvin}\\
T\ll\Theta:\qquad C_{\mathrm{V,Gitter}} &= 3nk_B\frac{4\pi^4}{5}\qty(\frac{T}{\Theta})^3=\SI{3.5}{\joule\per\centi\metre\cubed\per\kelvin}\cdot\num{77.93}\qty(\frac{T}{\SI{343}{\kelvin}})^3
\end{align*}
\item elektronischer Anteil
\begin{align*}
C_{\mathrm{V,e}} &= \frac{\pi^2}{2}k_Bn\frac{T}{T_{\mathrm{F,Cu}}}=\SI{5.75}{\joule\per\centi\metre\cubed\per\kelvin}\cdot\qty(\frac{T}{\SI{8.16e4}{\kelvin}})
\end{align*}
\end{itemize}
\begin{align*}
\Rightarrow C_V(T\gg \Theta) &= \SI{3.5}{\joule\per\centi\metre\cubed\per\kelvin} + \SI{5.75}{\joule\per\centi\metre\cubed\per\kelvin}\cdot\qty(\frac{T}{\SI{8.16e4}{\kelvin}})\\
\Rightarrow C_V(T\ll\Theta) &= \SI{5.75}{\joule\per\centi\metre\cubed\per\kelvin}\cdot\qty(\frac{T}{\SI{8.16e4}{\kelvin}}) + \SI{5.75}{\joule\per\centi\metre\cubed\per\kelvin}\cdot\qty(\frac{T}{\SI{8.16e4}{\kelvin}})
\end{align*}
\begin{align*}
&T\gg\Theta\qquad \SI{3.5}{\joule\per\centi\metre\cubed\per\kelvin}\stackrel{!}{=}\SI{5.75}{\joule\per\centi\metre\cubed\per\kelvin}\cdot\qty(\frac{T}{\SI{8.16e4}{\kelvin}})\\
&\Rightarrow T = \SI{5.0e4}{\kelvin}\\
&T\ll\Theta\qquad \SI{3.5}{\joule\per\centi\metre\cubed\per\kelvin}\cdot\num{77.93}\qty(\frac{T}{\SI{343}{\kelvin}})^3\stackrel{!}{=}\SI{5.75}{\joule\per\centi\metre\cubed\per\kelvin}\cdot\qty(\frac{T}{\SI{8.16e4}{\kelvin}})\\
& \Rightarrow T^2=\SI{10.43}{\kelvin\squared} \Leftrightarrow T=\SI{3.23}{\kelvin}
\end{align*}
\pagebreak
\item \textbf{Photoemissionsspektren}
\begin{mdframed}[style=exercise]
Für ein eindimensionales freies Elektronengas ergibt sich nachstehende Dispersion $E(k)$ (Abb.
1), wenn der unterste \enquote{gebundene} Zustand $\SI{9}{\electronvolt}$ unterhalb der Fermikante $E_F$ liegt. Nehmen Sie an, dass in einem Photoemissions-Experiment in senkrechter Emission bei den angegebenen Photonenenergien $h\nu$ nachstehende Spektren gemessen wurden. Bestimmen Sie graphisch den Verlauf $E_i(k)$ der (beiden) besetzten Bänder relativ zu $E_f$ (d.h. $E_i < 0$) unter der Annahme, dass die Endzustände $E_f(k)$ in ihrer Dispersion der gezeichneten Form freier Elektronen folgen.\\
\textit{Hinweis:} $E_f(k)=E_i(k)+h\nu$, wobei $E_i$ der Bindungsenergie relativ zur Fermikante entspricht.
\end{mdframed}
\begin{tabular}{| l | r | r | r | r | r |}
\hline
$h\nu$ & \SI{36}{\electronvolt} & \SI{24}{\electronvolt} & \SI{18}{\electronvolt} & \SI{9}{\electronvolt} & \SI{6}{\electronvolt}\\ \hline
1. $E_i$ & -8 & -6 & -5 & \num{-3.5} & -3\\ \hline
2. $E_i$ & \num{-0.25} & \num{-0.5} & -1 & -2 & \num{-2.5}\\ \hline
1. $E_f$ & 28 & 18 & 13 & \num{5.5} & 3\\ \hline
2. $E_f$ & 35 & \num{23.5} & 17 & 7 & \num{3.5} \\ \hline
\end{tabular}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=.83\textwidth]{06.png}
\caption{Dispersionrelation}
\end{figure}
\end{enumerate}
\end{document}
